NOMBRE COMPLEXE

 

 Définition

Nombres de la forme x + i y,x et y sont des nombres réels, et i un "nombre imaginaire"

tel que i2=-1.

Les nombres complexes, qui couvrent presque tous les domaines des mathématiques, sont également très employés en physique, notamment dans l'étude des circuits électriques et des ondes électromagnétiques.

 Historique

Les nombres complexes sont issus de l'étude d'équations du type : x2!=!-!1, qui n'admettent pas de solutions réelles. Au XVIe siècle, Jérôme Cardan et ses confrères italiens découvrirent que des solutions réelles d'équations pouvaient faire intervenir des racines carrées de nombres négatifs.

la formule de Moivre:

(Cos x + i sin x) n = Cos nx + i sin nx

Cette relation, qui relie fonction exponentielle et fonctions trigonométriques, est à rapprocher des:

formules d' Euler:

Cos x = 1/2 ( eix + e-ix)

Sin x=1/2i (eix - e-ix)

De ces formules découle la célèbre identité eip=-1, qui relie trois nombres fondamentaux en mathématiques.

théorème fondamental de l'algèbre : Gauss

tout polynôme de degré n possède exactement n racines, non nécessairement distinctes

Il fut également le premier à prouver la correspondance entre les nombres complexes et les points du plan. Cauchy poursuivit l'étude des nombres complexes en introduisant les fonctions à une variable complexe en 1814. Ces nombres eurent par la suite de nombreuses applications en physique!; le nombre i apparaît ainsi de manière explicite dans l'équation fondamentale de Schrödinger qui décrit la nature ondulatoire des particules.

 

 Opérations sur les complexes

 Tout élément z de l'ensemble  des nombres complexes s'écrit de manière unique

Z = x + i y

x est la partie réelle du nombre complexe et y sa partie imaginaire. Un nombre imaginaire ne possède pas de partie réelle, il s'écrit donc sous la forme z = i y .

  Somme de complexes

L'addition des nombres complexes s'effectue en ajoutant séparément les parties réelles et les parties imaginaires. Ainsi, pour ajouter 1+4i à 2-2i, il faut ajouter les parties réelles 1 et 2, et les parties imaginaires 4 et -2. On obtient ainsi le nombre complexe 3+2i.

La règle générale pour l'addition est donc la suivante :

(a + i b )+(c + i d)= (a + c) + (b + d)i

 Une somme de complexes peut s'interpréter de manière simple dans un plan muni d'un repère cartésien. Considérons les deux nombres complexes 1!+!4i et 2!-!2i, associés respectivement aux vecteurs OM et OP. On remarque que la somme de ces deux nombres est l'affixe du vecteur ON, somme de OM et OP.

 

   Produit de complexes

La multiplication des nombres complexes est fondée sur la relation i.i=-1 et sur la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

la règle générale pour la multiplication est la suivante :

(a + i b)(c + i d) = (a c - b d) + (a d + b c)i

Ainsi, (1+4i)(2-2i)=10+6i.

 À tout nombre complexe z =x + i y correspond un point M d'abscisse x et d'ordonnée y dans un repère cartésien. Le nombre z est appelé l'affixe du point M. Sur cette figure, les points M, Mí et N ont pour affixes respectives z, zí et le produit z zí.

On démontre que l'ensemble des nombres complexes, muni des lois d'addition et de multiplication, est un corps.

 

   Module et conjugué

Soit un nombre complexe z = x + i y. On appelle module de z le réel noté |z| tel que |z|=(x2+y2). On nomme conjugué de z le complexe de symbole  tel que

=x - i y

 

  Représentation dans le plan

 Coordonnées cartésiennes

De même que les nombres réels peuvent être représentés par les points d'une droite, on peut associer les nombres complexes aux points d'un plan. Ainsi, au complexe x+iy, on associe le point M du plan ayant x pour abscisse et y pour ordonnée. On dit alors que x+iy est l'affixe du point M. Le Suisse Argand fut l'un des premiers mathématiciens à définir en 1806 les nombres complexes par des coordonnées cartésiennes. C'est pourquoi une telle représentation est parfois appelée diagramme d'Argand.

Si on représente les nombres complexes à l'aide de vecteurs du plan, alors l'addition des nombres complexes correspond à la somme des vecteurs.

 Coordonnées polaires

Les points du plan pouvant s'écrire à l'aide de coordonnées polaires r et q, tout nombre complexe z peut donc s'écrire sous la forme :

Z = r(cos q + isin q) = r ei q

Ici, r est égal au module du complexe, et correspond à la distance du point M d'affixe z à l'origine du repère. q est appelé argument de z, et représente l'angle orienté formé par l'axe des abscisses et la droite (OM).

Soient :

z =r (cos q + isin q)

w = s(cos F + isin F

le produit de ces deux complexes est : z w = r s[cos(q+F)+isin(q+F)]

Cela donne lieu à une interprétation géométrique simple sur un diagramme d'Argand.

 

 Encyclopedia Universalis

 

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