THEORIE DES MATRICES

 

 Définitions

Une matrice est un ensemble de nombres disposés en lignes et en colonnes sous forme de tableau rectangulaire.

Ces nombres représentent les éléments de la matrice. Sa dimension, donnée par le nombre de lignes m et le nombre de colonnes n est notée m × n. Par exemple, la matrice

est une matrice 2×3. Une matrice à m lignes et m colonnes est appelée matrice carrée d’ordre m.

En notation mathématique standard, une matrice est indiquée par une majuscule et ses éléments par une minuscule doublement indexée.

Ainsi aij est l’élément de la matrice A qui se trouve à l’intersection de la ie ligne et de la je colonne.

La matrice A s’écrit alors :

 

ou encore en abrégé : A=(aij), signifiant que A est la matrice de terme général aij. Si A=(aij) est une matrice carrée d’ordre n, alors les éléments a11, a22, a33, …, ann forment la diagonale principale de la matrice.

Soient deux matrices A et B, avec A=(aij) et B=(bij). Ces deux matrices sont égales si, et seulement si, elles sont de même dimension et pour tous i et j, aij=bij.

  

  Opérations sur les matrices

Sous certaines conditions, différentes opérations peuvent être effectuées sur les matrices : addition, soustraction et multiplication. Dans certains cas, il est également possible de définir le déterminant et l’inverse d’une matrice.

 Addition

La somme de deux matrices n’est définie que si ces matrices sont de même dimension. Pour deux matrices A=(aij) et B=(bij) de dimension m×n, leur somme est alors une matrice C=(cij) de dimension m×n et d’élément générique cij=aij+bij. En d’autres termes, il suffit d’additionner les éléments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice somme. Par exemple,

L’addition sur l’ensemble des matrices de dimension m×n possède les mêmes propriétés que l’addition sur les nombres : c’est une opération associative, commutative, et possédant un élément neutre, la matrice nulle, notée 0, dont tous les éléments sont nuls. Pour toute matrice A, on a donc A+0=0+A=A.

 Soustraction

Tout comme l’addition, la soustraction de deux matrices n’est définie que pour des matrices de même dimension. Pour deux matrices A=(aij) et B=(bij) de dimension m×n, avec aij et bij nombres réels pour tous i et j, leur différence est alors une matrice C=(cij) de dimension m×n et d’élément générique cij=aij-bij.

Il suffit donc de soustraire les éléments homologues des deux matrices pour obtenir la matrice différence. La soustraction sur l’ensemble des matrices de dimension m×n possède les mêmes propriétés que la soustraction sur l’ensemble des nombres auxquels appartiennent les éléments matriciels.

 Multiplication

Le produit AB de deux matrices A et B n’est défini que si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B. Soient la matrice A=(aij) de dimension m×n et la matrice B=(bjk) de dimension n×p. Le produit AB de A par B est alors une matrice C=(cik) de dimension m×p et d’élément générique cik tel que :

 

En d’autres termes, l’élément de la ie ligne et de la ke colonne du produit de deux matrices correspond à la somme des produits des éléments de la ie ligne et de la je colonne de la première matrice (facteur de gauche du produit) par les éléments de la je ligne et de la ke colonne de la seconde matrice (facteur de droite du produit).

Par exemple:

 

on écrit :

 

La multiplication de deux matrices n’est pas commutative comme dans le cas de deux nombres réels a et b pour lesquels a.b est égal à b.a.

En revanche, elle est associative et distributive par rapport à l’addition.

Pour toutes matrices A d’ordre m×n, B d’ordre n×p, et C d’ordre p×q, on a donc :

A(BC)=(AB)C

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA.

Sur l’ensemble des matrices carrées, la multiplication possède un élément neutre appelé matrice unité I, dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à 1. Pour toute matrice carrée A, on peut donc écrire : IA=AI=A.

 

 Déterminant et inverse

À chaque matrice carrée A est associé un nombre appelé déterminant de A et noté det A. Par exemple, le déterminant d’une matrice 2×2 :

est det A=ad-bc. Pour des matrices d’ordre supérieur.

Une matrice carrée A est dite inversible s’il existe une unique matrice carrée B telle que AB=BA=I. La matrice B est alors l’inverse de A et notée A-1. On démontre qu’une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

  Applications

Les matrices, et en particulier les déterminants, jouent un rôle essentiel dans la résolution des systèmes linéaires d’équations. Mais la théorie des matrices a également d’importantes applications en géométrie : les transformations telles que translation, rotation autour d’un point fixe ou symétrie orthogonale par rapport à une droite peuvent être en effet représentées par des matrices. La matrice d’une composition de telles transformations est obtenue en effectuant des opérations sur les matrices des transformations combinées.

 

Encyclopedia Universalis

 

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