GEOMETRIE ANALYTIQUE

 

 Définition 

Méthode d'étude des objets de la géométrie (points, droites, figures, surfaces, etc.) qui consiste à les représenter comme des fonctions et à les traiter par des calculs algébriques et analytiques.

Pour ce faire, la géométrie analytique repère les points au moyen de leurs coordonnées. Chaque figure est alors traduite par une fonction dont le graphe est la figure elle- même. Il s'agit alors de déterminer les propriétés des figures à l'aide de calculs effectués sur les coordonnées des points qui les composent ou sur les fonctions qui les décrivent.

Le passage de l'étude de la figure à l'étude de sa fonction représentative suppose que l'on connaisse cette fonction. On peut établir une équivalence entre une fonction numérique et son graphe, qui est sa représentation géométrique, et donc étudier indifféremment l'une ou l'autre.

L'avantage de la méthode analytique est d'obtenir aisément certaines propriétés des courbes ou des surfaces par des calculs directs, même quand les méthodes purement géométriques se révèlent impraticables.

 Principes

Les coordonnées les plus utilisées sont les coordonnées cartésiennes que l'on peut définir par la donnée d'axes orientés perpendiculaires deux à deux ; il faut deux axes (X, Y) pour le plan, trois axes pour l'espace (X, Y, Z). L'intersection des axes définit l'origine O à partir de laquelle sont mesurées algébriquement, généralement avec une même unité, les coordonnées : x l'abscisse, y l'ordonnée, z la cote. Chaque point M du plan est donc représenté par un couple (mx, my) et chaque point de l'espace par un triplet (mx, my, mz) . La détermination de chacune des coordonnées se fait alors par la projection du point sur l'axe correspondant.

 La représentation analytique des courbes

La représentation analytique des courbes du plan ou de l'espace peut s'effectuer à l'aide de différentes formes d'équations.

 Les équations explicites

expriment directement les coordonnées les unes en fonction des autres. Ainsi, une courbe du plan est représentée par une équation de la forme y = f(x) ; une courbe de l'espace est définie par deux équations :

y = f(x) et z = g(x). L'équation explicite d'une droite du plan est de la forme y = ax + b, les deux équations d'une droite de l'espace sont de la forme y = ax + b et z = cx + d.  

 Les équations implicites

regroupent plusieurs coordonnées dans une même équation. Si leur utilisation est plus délicate, elles sont souvent de forme plus simple. Ainsi :

 l' équation implicite d'un cercle de centre (a, b) et de rayon r est :

(x - a)2 + (y - b)2 = r2.

 

 Les équations paramétriques

expriment les coordonnées en fonction d'une variable auxiliaire, le paramètre t, qui n'est pas représenté dans le système de coordonnées. Souvent, quand il s'agit de représenter la trajectoire d'un mobile, le paramètre auxiliaire représente le temps.

 Ainsi, un cercle est déterminé par les deux équations :

x = a + r cos(t), y = b + r sin(t)

 

 l'hélice par les trois équations :

x = r cos(t), y = r sin(t), z = ht.

 

 La représentation analytique des surfaces

La représentation analytique des surfaces, y compris les surfaces gauches (c'est-à-dire des surfaces qui ne sont pas planes), dans l'espace, utilise les mêmes types d'équations.

 Les équations explicites ont pour forme générale z = F(x, y).

 Les équations implicites sont de forme générale F(x, y, z) = 0.

 Ainsi l'équation d'un plan dans l'espace est : ax + by + cz + d = 0.

 L'équation d'une sphère dont le centre est (a, b, c) et dont le rayon est r, est : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2

Les équations paramétriques, pour une surface gauche, mettent en jeu deux paramètres u et v. Une surface aura pour équations : x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)

 Les systèmes d'équations

Ils sont constitués par la donnée simultanée de plusieurs équations ; la solution d'un tel système définit l'intersection (points ou courbes) des figures représentées par ces équations.

Le système dont les équations sont celles d'une sphère et d'un plan, a pour solution, si celle-ci existe, l'équation du cercle d'intersection.

Des formules permettent de déterminer, par exemple, l'angle de deux droites. On peut également exprimer les propriétés géométriques des figures (parallélisme, orthogonalité, etc.) par des relations entre les équations.

Des équations algébriques ou des équations transcendantes déterminent deux grandes familles de courbes ou de surfaces. Une équation est dite algébrique si elle est réductible à un polynôme ; elle est transcendante dans le cas contraire (fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ). On classe les courbes et les surfaces algébriques d' après le degré des polynômes. La droite est de degré 1 ; le cercle de degré 2.

 Évolution de la géométrie analytique

La géométrie analytique a été introduite au XVIIe siècle par René Descartes et Pierre de Fermat, qui ont défini la représentation d'une figure dans un système de coordonnées. Dès l'origine, les courbes et les surfaces algébriques ont été particulièrement étudiées, surtout à partir du XIXe siècle, grâce à l'évolution des théories algébriques. Cette étude a radicalement évolué lors de l'introduction des structures algébriques abstraites, donnant naissance à une nouvelle branche des mathématiques, aujourd'hui en plein développement, la géométrie algébrique. Fondée principalement sur les concepts et les résultats de l'algèbre commutative, elle a donné une signification plus générale aux notions géométriques originelles.

Parallèlement, à partir de Bernhard Riemann, on a étudié une catégorie de fonctions plus vaste que celle des fonctions algébriques, celle des fonctions analytiques, c'est-à-dire des fonctions développables en séries entières. Cette étude a débouché sur la théorie des ensembles analytiques.

Enfin, les méthodes différentielles, utilisées au cours de l'édification de la théorie classique des courbes et des surfaces, se sont développées de manière autonome et elles constituent, associées à la topologie et au calcul tensoriel, la géométrie différentielle.

 

 

Encyclopedia Universalis

 

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