ETUDE DE FONCTIONS

 

 Définition

en mathématiques, correspondances entre un ensemble A et un ensemble B, qui à tout élément de A associent au plus un élément de B. Par exemple, la relation qui à tout entier associe son carré est une fonction de dans . Par extension, on peut également définir des fonctions à plusieurs variables, telles que la relation qui au triplet de réels (x,y,z) associe le produit xyz. Dans la suite de cet article, on ne s’intéressera qu’aux fonctions à une variable.

 Historique

Le terme de fonction fut utilisé pour la première fois en 1637 par Descartes pour désigner une puissance xn d’une variable x. Puis en 1694, Leibniz appliqua ce terme à différentes caractéristiques d’une courbe. Mais c’est Dirichlet qui fut le premier à énoncer le concept de fonction dans son sens moderne de correspondance. Il conçut une fonction de variable y, appelée variable dépendante, dont les valeurs sont fixées ou définies par les valeurs assignées à la variable indépendante x ou à plusieurs variables indépendantes x1, x2,… , xn. Enfin, au XIXe siècle, l’apparition de la théorie des ensembles élargit la notion de fonction.

 Définition et notation

La notion de fonction est souvent confondue avec celle d’application. À la différence d’une application, tous les éléments de l’ensemble de départ d’une fonction n’ont pas forcément d’image dans l’ensemble d’arrivée. Par exemple, la correspondance qui associe à un nombre son carré est une application!; en revanche, celle qui associe à un nombre son inverse n’est pas une application car 0 n’a pas d’image.

Soit f une fonction d’un ensemble A vers un ensemble B. On note alors :

Il ne faut pas confondre la fonction f avec la valeur f(x) prise en x par la fonction f.

 

 Opérations sur les fonctions

Soient f et g deux fonctions d’un ensemble A vers un ensemble B. On peut alors définir la fonction somme f+g, qui à tout élément x de A associe l’élément (f+g)(x)=f(x)+g(x). De même, il est possible de définir la fonction produit et quotient des deux fonctions f et g (sous réserve que g(x) soit non nul).

Si, pour tout x de A, f(x) appartient à A, on peut également définir la composée de f suivie de g, notée gof, telle que pour tout x de A (gof)(x)=g(f(x)).

 Étude d’une fonction

Les différentes étapes qui président à l’étude d’une fonction sont :

 Le domaine de définition et de ses propriétés .

 le calcul des limites aux points remarquables.

 l’étude de sa continuité .

 l'étude de sa dérivabilité.

 la recherche d’asymptotes .

 La représentation graphique.

On se placera ici dans un repère cartésien (xOy)

 

 Domaine de définition

Soit une fonction f d’un ensemble A vers un ensemble B. Pour aborder l’étude de cette fonction, il faut avant tout déterminer son ensemble de définition Df, sous-ensemble de A pour lequel la fonction est toujours définie. On peut alors dire que la fonction est une application de son ensemble de définition vers l’ensemble d’arrivée B.

Le domaine de définition de f correspond aux valeurs de x pour lesquelles f(x) est défini.

 

 Par exemple:

le domaine de définition de la fonction f, qui à tout réel x associe f(x)=1/[x(x-2)], est Df=\{0;2}, parce que, pour ces deux valeurs, le dénominateur de la fraction s’annule.

 

 Propriétés particulières

 Une fonction f est paire si:

pour tout x appartenant à Df, -x est aussi dans Df et f(-x)=f(x).

En conséquence, la représentation graphique d’une fonction paire dans le repère (xOy) admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie.

 Une fonction f est impaire si:

pour tout x appartenant à Df, -x est aussi dans Df et f(-x)=-f(x).

En conséquence, la représentation graphique d’une fonction impaire dans le repère (xOy) admet l’origine O du repère comme centre de symétrie.

 

Ces propriétés de parité facilitent l’étude de la fonction car il suffit donc d’étudier f sur [0;+¥]ÇDf, puis de généraliser sur l’ensemble.

 Une fonction f est périodique de période T si:

pour tout x appartenant à Df, x+T appartient à Df et f(x+T)=f(x).

 Par exemple:

les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques de période 2p (voir Trigonométrie).

De même, la périodicité d’une fonction permet d’en faire l’étude sur un intervalle de longueur T, puis de généraliser à l’ensemble de départ.

 Étude aux limites

Pour mieux comprendre le comportement général d’une fonction, il est souvent utile de déterminer ses limites à l’infini (en +¥ et/ou -¥ si la fonction y est définie) et aux points particuliers où la fonction n’est pas définie.

 Par exemple:

si l’on considère la fonction f, qui à tout réel x associe f(x)=1/[x(x-2)], on peut calculer ses limites en -¥, en 0, en 2 et +¥, en utilisant les théorèmes associés aux limites. Ces calculs fournissent des indications sur le sens de variation de la fonction f.

 Continuité

Soit f une fonction ayant pour ensemble de définition Df, et x0 un élément de Df. On dit que f est continue en x0 si et seulement si :

 

Remarquons qu’il est inutile de s’interroger sur la continuité de f en un élément n’appartenant pas à l’ensemble de définition Df.

 Par exemple:

la question de la continuité de la fonction qui à x non nul associe 1/x ne se pose pas.

 

Toute fonction définie sur un ensemble Df n’est pas forcément continue sur tout cet ensemble. Ainsi, la fonction f qui à x non nul associe 1/x et qui à 0 associe 1 n’est pas continue en 0.

Une fonction f est continue sur un intervalle [a;b] si et seulement si elle est continue en tout point de [a;b].

 Dérivabilité

Soit f une fonction ayant pour ensemble de définition Df, et x0 un élément de Df. On dit que la fonction f est dérivable en x0 si et seulement si la quantité :

a une limite réelle quand h tend vers 0. Dans ce cas, cette limite est appelé nombre dérivé ou dérivée de f en x0 et notée f¢(x0).

On parle également de "dérivée" infinie lorsque la quantité ci-dessus a pour limite -¥ ou +¥, même si rigoureusement le terme de dérivée ne s’emploie que pour des limites réelles.

La valeur de la dérivée représente la pente de la tangente de la représentation graphique de f en x0 : une dérivée nulle correspond à une tangente horizontale, une dérivée infinie à une tangente verticale.

Par ailleurs, une valeur positive, négative ou nulle de f¢(x0) indique respectivement que f(x) augmente, décroît ou est stationnaire au voisinage de x0.

C’est pourquoi il est très utile d’étudier la dérivabilité d’une fonction f et de déterminer le signe de la fonction dérivée f¢ aux points où elle existe, car ce signe indique le sens de variation de f. Pour les règles de dérivation.

Il est à noter que toute fonction dérivable en un point x0 est continue en ce point.

En revanche, la réciproque est fausse : par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais non dérivable.

 Asymptotes

Certaines fonctions ont la particularité de se comporter à l’infini comme des droites appelées asymptotes.

Lorsqu’un point situé sur la représentation graphique de la fonction s’éloigne à l’infini, la distance entre ce point et la droite asymptote tend alors vers 0.

En calculant le coefficient de cette droite, on peut alors tracer la courbe associée à la fonction avec plus de précision.

 Par exemple:

la fonction f qui à tout x non nul associe f(x)=x+1/x a pour asymptote en -¥ et +¥ la droite d’équation y=x.

 Représentation graphique

Lorsque l’on a déterminé le domaine de définition d’une fonction, recensé ses propriétés particulières, calculé éventuellement ses limites aux points remarquables, étudié sa continuité et sa dérivabilité, et recherché ses asymptotes possibles, on peut alors procéder à la représentation graphique de la fonction.

Cette représentation consiste à noter dans un repère orthonormé les points de coordonnées déterminés par les couples (x, y),y=f(x), puis à relier ces points entre eux.

 Encyclopedia Universalis

 

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