EQUATION DIFFERENTIELLE

a(x)f’ + b(x)f = c(x)

 

Equations vérifiées par une fonction dérivable f et au moins l'une de ses dérivées.

 Définitions

La dérivée première d'une fonction f de la variable x en un point de coordonnées (x0; y0) est égale à la limite, lorsqu'elle existe, du rapport (f(x)-f(x0))/(x-x0), quand x tend vers x0. On définit de même la dérivée seconde d'une fonction comme la dérivée de la dérivée de cette fonction, et ainsi de suite.

On note f’ la dérivée première de f, f" sa dérivée seconde, etc.

 

Une solution particulière d'une équation différentielle est une fonction f vérifiant l'équation. La solution générale donne l'ensemble de toutes les solutions.

Une équation différentielle est d'ordre n si elle fait intervenir la dérivée d'ordre n, notée f(n), d'une fonction f, à l'exception de toute autre dérivée d'ordre supérieur.

 

 Equation différentielle linéaire du premier ordre

 

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type :

a(x)f’ + b(x)f = c(x)

a(x), b(x) et c(x) sont des fonctions de l'ensemble des réels (voir Nombres).

La solution générale d'une telle équation est de la forme bf0!+!f1, où b est un réel, f1 est une solution particulière, et f0 une fonction de la forme :

 

La fonction exp est la fonction exponentielle et le symbole ò signifie "intégrale de"

Un exemple simple d'équation différentielle linéaire du premier ordre peut être illustré par la loi de désintégration radioactive. Considérons le paramètre t comme représentation du temps, et le paramètre f comme la quantité de matière radioactive présente dans un échantillon à l'instant t. Selon la théorie de la radioactivité, le taux de diminution de f, c'est-à-dire df/dt, est proportionnel à la quantité restante f. On peut donc écrire :

b est un nombre réel négatif.

La solution générale de cette équation différentielle est donnée par f=cexp(bt), où c est une constante égale à la quantité présente de matière radioactive à l'instant t=0.

 

 Equation différentielle linéaire du second ordre

 

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre une équation de la forme :

a(x)f" + b(x)f’ + c(x)f = d(x) (eq)

a(x), b(x), c(x) et d(x) sont des fonctions de l'ensemble des réels. Alors, dans les cas les plus simples, si f0 est une solution particulière de l'équation (eq), et si f1 et f2 sont solutions de l'équation a(x)f" + b(x)f’ + c(x)f=0,

la solution générale de (eq) est de la forme f0+b1f1+b2f2, où b1 et b2 sont des réels.

Lorsque a, b, et c ne sont pas des fonctions mais des coefficients numériques constants, il est relativement facile de déterminer précisément la solution générale d'une telle équation.

Les équations différentielles du second ordre apparaissent souvent en mécanique. Etudions par exemple le déplacement d'un objet ponctuel attaché à l'extrémité d'un ressort, le long d'un axe donné. On considère l'autre extrémité du ressort fixe, et située à l'origine de l'axe. On appelle l la longueur à vide du ressort, k sa constante de raideur et m la masse de l'objet. La fonction x indique le déplacement de l'objet en fonction du temps t. Son accélération est alors donnée par x". On montre que l'intensité de la force exercée par le ressort sur l'objet est égale à -!k!(x!-!l). Si on néglige les autres forces, on a donc, conformément au :

 principe fondamental de la dynamique :

mx"=-k(x-l), soit mx"+kx=kl

Cette équation est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Elle a pour solution :

 

 

 Autres équations différentielles

Il existe naturellement bien d'autres formes d'équations différentielles. En particulier, lorsque les fonctions sont à plusieurs variables, on rencontre fréquemment en mathématiques et en physique des équations aux dérivées partielles.

Un exemple fondamental et très répandu est :

équation de Laplace (en hommage au mathématicien français Laplace). Elle s'écrit sous forme synthétique :

Df=0

Dans l'espace muni d'un système de coordonnées cartésiennes orthonormées,

 l'équation de Laplace se traduit par :

 

où les trois dérivées suivantes :

sont les dérivées secondes partielles de la fonction f par rapport à x, y et z. En mécanique des fluides, l'équation de Laplace constitue notamment une des équations fondamentales de la théorie des écoulements potentiels. Celle-ci permet par exemple d'étudier l'aérodynamique des ailes d'avions.

L'étude de problèmes mathématiques ou physiques conduisent souvent à la résolution d'équations différentielles ou de systèmes d'équations différentielles. Malheureusement, les scientifiques parviennent rarement à déterminer une solution générale : ils ont alors recours à une étude analytique des équations pour en dégager leurs propriétés.

 Encyclopedia Universalis

 

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