EQUATIONS DE SECOND DEGRE

 

 Définition

Equations mathématiques dans lesquelles apparaît le carré d'une quantité inconnue, mais pas ses puissances supérieures. Cette équation est donc de la forme :

a, b et c sont des constantes, et a!¹!0. Résoudre cette équation consiste à trouver ses solutions, c'est-à-dire les valeurs de x qui vérifient la formule (1). Si le côté gauche, ax2!+!bx!+!c, peut être factorisé sous la forme

a(x-u)(x-v)

u et v sont des constantes, alors u et v représentent les solutions de cette équation. Dans l'exemple

on peut écrire

2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x-1)(x+2)

Par conséquent, les solutions de (2) sont u=1 et v=-2.

 

 Technique de résolution d'équations du second degré

On peut également utiliser la formule générale :

pour résoudre l'équation (1). Si le terme b2-4ac, appelé déterminant, est supérieur à 0, alors l'équation (1) possède deux solutions distinctes :

 

Dans l'exemple (2), a=2, b=2 et c=-4. La formule (3) donne alors les solutions

De même, l'équation x2-x-1=0 a pour solutions

Si b2-4ac=0, l'équation du second degré possède une seule solution

 

Par exemple, x2-2x+1=0 a une solution x=1, correspondant à la factorisation

x2-2x+1=(x-1)2

Si b2-4ac<0, alors l'équation (1) n'a pas de solution réelle, car dans l'ensemble des nombres réels, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie.

En revanche, cette équation a deux solutions données par la formule (3) dans l'ensemble des nombres complexes. Par exemple, l'équation x2-2x+2=0 a pour solutions

 

i est le nombre imaginaire dont le carré est égal à -!1.

La formule (3) peut se démontrer en "!complétant le carré!". Puisque

 

les solutions de l'équation (1) sont les valeurs de x telles que

(2ax+b)2=b2-4ac

c'est-à-dire

 

ou encore

 

 Interprétation géométrique

D'un point de vue géométrique, les solutions de l'équation du second degré (1), lorsqu'elles sont réelles, représentent les abscisses des points d'intersection de la parabole y=ax2+bx+c avec l'axe des abscisses. Selon que b2-4ac est positif, nul ou négatif, il existe deux, un ou aucun point d'intersection.

 

 Équations d'ordre supérieur

Cette méthode de résolution des équations du second degré était déjà connue des Sumériens, aux environs de 2000 av. J.-C. Au XVIe siècle, les mathématiciens italiens Niccolò Tartaglia et Jérôme Cardan découvrirent des formules similaires, en utilisant des racines carrées et des racines cubiques, pour résoudre des équations du troisième et du quatrième degré (équations qui font intervenir les puissances trois et quatre de l'inconnue). Par la suite, les mathématiciens cherchèrent sans succès durant plusieurs siècles des formules analogues pour les équations du cinquième degré. C'est au début du XIXe siècle que les mathématiciens Paolo Ruffini, Niels Henrik Abel et Évariste Galois démontrèrent que ces formules n'existaient pas. Leurs travaux donnèrent naissance à une branche importante de l'algèbre moderne : la théorie des groupes, qui étudie la symétrie d'une manière générale, et en particulier celle des racines des polynômes.

 Encyclopedia Universalis

 

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