TRIGONOMETRIE

 

 Définition

branche des mathématiques qui traite des relations entre les côtés et les angles des triangles, et des propriétés des fonctions trigonométriques. On distingue la trigonométrie plane, qui étudie les triangles du plan, et la trigonométrie sphérique qui s'intéresse aux triangles situés sur la surface d'une sphère.

 Historique

C'est en Égypte et en Mésopotamie que naquit la trigonométrie plus de deux mille ans avant notre ère. Elle fut en effet utilisée par les astronomes et les ingénieurs, notamment dans la construction des pyramides égyptiennes. Elle se développa ensuite chez les Grecs au IIe siècle av. J.-C., à l'initiative d'Hipparque d'Alexandrie qui calcula pour un angle donné la longueur de la corde sous-tendue. Trois cents ans plus tard, Ptolémée publia dans son manuel astronomique l'Almageste la première table trigonométrique de l'histoire, pour des angles compris entre 0° et 180°, par intervalle de 0,75°.

S'inspirant des trigonométries grecque et indienne, les mathématiciens arabes définirent les six lignes trigonométriques à la fin du Xe siècle. Ces résultats, qui furent retranscrits par l'astronome Nasiral-Dinal-Tusi dans son Traité du quadrilatère complet, ne furent connus des Européens qu'au XVe siècle, grâce à l'astronome et mathématicien allemand Regiomontanus.

 

  TRIGONOMETRIE PLANE

 Définition d'un angle

En trigonométrie, un angle représente une grandeur algébrique. Pour définir le signe d'un angle, considérons les segments [OA] et [OB] de la figure 1. Supposons que le segment [OA] soit fixe et que le segment [OB] puisse tourner autour du point O. Le segment [OB] arrive en une position finale de rotation, à partir de laquelle il définit un angle. La mesure de cet angle est positive s'il est généré par une rotation du segment [OB] dans le sens contraire de la rotation des aiguilles d'une montre. Ce sens est appelé sens positif ou sens direct. Si la rotation s'effectue dans le sens contraire, nommé aussi sens rétrograde, l'angle est alors négatif (voir figure 2).

 

Un angle se mesure généralement en degrés (symbole °) ou en radians (symbole rad). Lorsque l'unité n'est pas précisée, l'angle est exprimé en radians. Par exemple, un angle plat a a pour mesure 180° ou p rad.

 Fonctions trigonométriques

 Les fonctions trigonométriques sont des fonctions qui dépendent de l'amplitude d'un angle. Considérons dans un plan muni d'un système de coordonnées cartésiennes un point P de coordonnées x et y, différent de l'origine O du repère. Définissons l'angle q mesuré dans le sens direct, comme étant l'angle compris entre la demi-droite des abscisses positives et la demi-droite [OP). Soit r la distance entre le point P et l'origine O. Cette distance r est égale à d'après le théorème de Pythagore.

 

Les quatre fonctions trigonométriques usuelles associées à l'angle q sont :

 

On montre facilement que ces quatre fonctions trigonométriques ne dépendent que de l'angle q et non directement du choix du point P, à condition que ce point appartienne au côté de l'angle.

On peut remarquer que ces fonctions trigonométriques sont périodiques, c'est-à-dire qu'elles reprennent les mêmes valeurs à intervalles réguliers appelés périodes.

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de périodes 2p, c'est-à-dire que pour tout entier relatif k, cos(q+2kp) =cosq et sin(q+2kp) =sinq. Quant aux fonctions tangente et cotangente, elles sont périodiques de période p.

Il faut noter également que la fonction tangente n'est pas définie pour x=0, ni la fonction cotangente pour y=0. En d'autres termes, la tangente n'est pas définie pour un angle de la forme p/2+kp, ni la cotangente pour un angle de la forme kp, avec k entier relatif. En revanche, tout angle a un sinus et un cosinus car la distance r ne peut jamais être nulle.

Comme r est supérieure ou égale à x et à y, sinq et cosq sont donc des réels compris entre -1 et +1, contrairement à tan q et cotan q qui peuvent prendre toutes les valeurs réelles.

On peut déterminer facilement les valeurs numériques des fonctions trigonométriques de certains angles par des considérations géométriques. Le tableau ci-dessous récapitule les valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente de certains angles remarquables.

 

 Identités trigonométriques

Les formules suivantes, appelées identités, indiquent les relations existant entre les différentes fonctions trigonométriques. Elles sont valables pour tout angle, dans la mesure où les fonctions employées sont définies.

 

De nombreuses autres identités trigonométriques sont issues des /

 Identités fondamentales ci-dessus.

 Fonctions réciproques

L'affirmation "y est le sinus de q" équivaut à dire que : "q est un angle dont le sinus est y". Cette dernière proposition peut se traduire à l'aide du symbole arcsin : q=arcsiny=sin-1y. On définit de la même façon arccosy, arctan y, arccotan y. Ces symboles ne représentent pas des fonctions car à une valeur donnée de y correspond une infinité de valeurs de q.

Par exemple,

si q=arcsin1/2, q peut être égal à 30°, 150°, 30°+360°=390°, etc. C'est pourquoi on définit plus précisément la fonction réciproque Arcsin (avec une majuscule) comme la valeur unique d'arcsin comprise dans l'intervalle [-p/2 p/2]. On définit de même les fonctions Arccos sur [0 p], Arctan sur ]-p/2 p/2[ et Arccotan sur ]0 p[.

 

 Relations dans un triangle

 Triangle rectangle

Si q est l'un des angles aigus d'un triangle rectangle, les définitions des fonctions trigonométriques données précédemment peuvent s'appliquer à l'angle q. En effet, si le sommet A se confond avec l'origine O du repère (xOy), si [AC] est situé sur la partie positive de l'axe des x, et si B est assimilé au point P introduit plus haut tel que AB=AP=r, on peut donc écrire sinq=y/r=a/c, et ainsi de suite.

On aboutit alors aux relations ci-dessous :

 

 Triangle quelconque

Grâce à la trigonométrie, il est possible d'établir des relations entre les côtés et les angles d'un triangle, même non rectangle. Soient donc A, B, C, les trois angles d'un triangle quelconque et a, b, c, les côtés respectivement opposés à ces angles. On montre que :

 

Dans la formule faisant intervenir le cosinus, on peut effectuer une rotation des lettres a, b, c, et A, B, C.

Ces trois relations peuvent être utilisées pour déterminer les six éléments d'un triangle quelconque. En effet, on peut déterminer la longueur des côtés ou la mesure des angles inconnus lorsque l'on connaît un côté et deux angles, ou deux côtés et l'angle formé par ces côtés, ou deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux (on trouve en général deux triangles dans ce cas), ou bien les trois côtés.

 Trigonométrie sphérique

La trigonométrie sphérique, principalement utilisée en navigation et en astronomie, étudie les angles des triangles sphériques, c'est-à-dire les triangles formés par des arcs de grands cercles tracés sur la surface d'une sphère. Comme le triangle plan, le triangle sphérique possède six éléments caractéristiques : trois côtés courbes a, b, c, et trois angles associés A, B, C. Les paramètres a, b, et c représentent dans ce cas des longueurs d'arcs et non de segments. L'angle A, opposé au côté a, correspond à l'angle qui a pour sommet le centre de la sphère et qui sous-tend le côté a. On définit de même les angles B et C. Pour déterminer les éléments caractéristiques d'un triangle sphérique, il suffit de connaître trois de ces éléments. Il existe un certain nombre de formules reliant tous ces paramètres entre eux, qui demeurent encore très employés en navigation et en astronomie de position.

 

 

Encyclopedia Universalis

 

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