CALCUL INFINITESIMAL

 

 Définition

Branche des mathématiques recouvrant le calcul différentiel et le calcul intégral. Le calcul différentiel étudie les propriétés locales des fonctions pour des variations infiniment petites des variables, tandis que le calcul intégral s’intéresse au calcul des primitives et intégrales, ainsi qu’à la résolution d’équations différentielles. Le calcul infinitésimal est d’une importance fondamentale dans la plupart des domaines de la science.

 Historique

 Origines

Le calcul infinitésimal est issu de la géométrie grecque de l’Antiquité. Au Ve siècle av. J.-C., Démocrite calcula ainsi les volumes des pyramides et des cônes en considérant ces solides composés d’un nombre infini de coupes transversales d’épaisseur infinitésimale (infiniment petite). De même, Eudoxe de Cnide et Archimède employèrent la méthode d’exhaustion pour déterminer l’aire d’un disque, en l’approchant par des polygones inscrits et circonscrits. Toutefois, les Grecs ne firent qu’effleurer la théorie du calcul infinitésimal, freinés par les paradoxes de Zénon d’Élée et les problèmes que posaient les nombres irrationnels.

 Théories du XVIIe siècle

Ces recherches ne furent reprises qu’au début du XVIIe siècle, tout d’abord par le jésuite et mathématicien italien Cavalieri. Ce dernier étendit l’usage des quantités infinitésimales en élaborant sa théorie des indivisibles, qui considère une surface comme constituée d’un nombre infini de lignes parallèles à une direction, appelées indivisibles de la surface. Mesurer l’aire de cette surface consiste donc à effectuer la somme de ces indivisibles. En France, Fermat puis Descartes eurent recours à la géométrie analytique pour déterminer des aires et des tangentes à une courbe. Fermat inventa notamment une méthode pour déterminer les maxima et minima de certaines fonctions : sans le savoir, il manipulait ainsi le concept de limite qui ne fut défini qu’au XIXe siècle. De son côté, le mathématicien et théologien anglais Barrow établit le lien entre le problème des tangentes et le problème inverse du calcul des aires, montrant que ces deux procédés étaient intimement liés.

Mais les véritables fondateurs du calcul infinitésimal moderne demeurent Newton et Leibniz, qui, dans les années 1660 et 1670, démontrèrent notamment le théorème fondamental stipulant qu’intégration et dérivation sont des opérations inverses. Le développement des techniques de calcul par Newton, inspirées par ses investigations en physique, précédait en fait les résultats de Leibniz, mais Newton tarda à publier ses conclusions. Finalement, les notations de Leibniz furent adoptées, comme le symbole ò d’une intégrale.

 Rigueur au XIXe siècle

Le XVIIIe siècle vit s’élargir le champ d’application du calcul différentiel et intégral. Cependant, en raison d’une utilisation imprécise des quantités infinies et infinitésimales, et du recours à l’intuition en géométrie, confusion et polémique régnaient encore au sujet des fondements de ce calcul. Ce n’est qu’au XIXe siècle que les analystes remplacèrent ces vagues concepts par des notions solides et rigoureuses, fondées sur des quantités finies. Bolzano et Cauchy définirent ainsi avec précision les limites et les intégrales, Riemann développant ensuite une théorie de l’intégration plus générale que celle de Cauchy. En 1874, Weierstrass construisit à partir de séries particulières une fonction continue mais dérivable en aucun point, prouvant ainsi que si les fonctions dérivables sont continues, la réciproque se révèle fausse. Au XXe siècle, les progrès de l’analyse légitimèrent complètement les quantités infinitésimales.

 Calcul différentiel

 Taux de variation

Supposons que deux inconnues x et y soient liées par l’équation y=f(x), f une fonction continue qui associe la valeur y à la valeur x. Par exemple, x peut symboliser un temps et y la distance parcourue par un corps en mouvement à l’instant x. Considérons alors le point (x0; y0) appartenant à la représentation graphique C de la fonction f. Cette représentation C correspond donc à une courbe dans le plan xOy.

Si l’on prend en compte une variation infinitésimale h de x0 (h étant un réel positif ou négatif proche de 0), x passe donc de la valeur x0 à la valeur x0!+!h, provoquant un changement k de y, qui passe de la valeur y0=f(x0) à la valeur y0+k=f(x0+h). Le quotient k/h est appelé le taux moyen de variation de y quand x augmente ou diminue de h, avec k=f(x0+h)-f(x0). Il correspond à la pente de la droite (AB), où A(x0; y0) et B(x0+h; y0+k) sont deux points de la courbe C.

 Nombre dérivé

 Tangente à une courbe

 

La droite T est la tangente à la représentation graphique de la fonction f en A(x0; f(x0)).

Lorsque h tend vers 0, k/h tend vers le taux instantané de variation de y en x0. D’un point de vue géométrique, le point B se rapproche alors du point A le long de la courbe y=f(x). La droite (AB) se rapprochant de la tangente (AT) à la courbe C en A, k/h tend par conséquent vers la pente de la tangente en x0.

On définit alors la dérivée f¢(x0) de la fonction f en x0 comme la limite — lorsqu’elle existe — du quotient k/h quand h tend vers 0, ce qui s’écrit :

 

Cette valeur représente à la fois le taux instantané de variation de y en x0 et la pente de la courbe C en A. Si x correspond à un temps et y à la distance parcourue à l’instant x par un corps en mouvement, la dérivée de y par rapport à x représente alors la vitesse instantanée du corps. Une valeur positive, négative ou nulle de f¢(x0) indique respectivement que f(x) augmente, décroît ou est stationnaire au voisinage de x0.

 Dérivée d’une fonction

Lorsque ce nombre dérivé existe en tout point x0 de l’ensemble de définition D de f, on peut alors définir la fonction dérivée de f, notée f¢, telle que pour tout x0 appartenant à D,

On note également f¢=dy/dx, et on dit que la fonction f est dérivable.

Soit une fonction f définie par f(x)=x2 pour tout x réel. La représentation graphique de f est alors une parabole. On peut alors calculer le taux instantané de variation de f en un point x0.

 

donc k/h=2x0+h, qui tend vers 2x0 lorsque h±0.

Par conséquent f¢(x)=2x.

Plus généralement, on montre que:

toute fonction f définie par f(x)=xm, avec m réel fixé, a pour dérivée la fonction f¢, définie par f¢(x)=mxm-1.

 

 Fonctions non dérivables

Toutes les fonctions continues ne sont pas dérivables, le rapport k/h n’ayant pas toujours une limite finie quand h±0. Par exemple, la fonction valeur absolue qui à x associe |x| n’a pas de dérivée en x0=0, car k/h est égal à 1 ou -1 selon que h>0 ou h<0. D’un point de vue géométrique, la courbe représentative de cette fonction présente un angle en A(0; 0), et ne possède donc pas de tangente.

 

 Règles de dérivation

Le calcul des dérivées, appelé dérivation, est régi par différentes règles qui en simplifient l’utilisation.

Soient deux fonctions u et v définies et dérivables sur un intervalle I. On peut alors énoncer les résultats suivants :

Les fonctions constantes ont des dérivées nulles.

La somme u + v est dérivable sur I, et a pour dérivée (u + v)¢ = u¢ + v¢.

Si l est un réel, alors lu est dérivable sur I, et a pour dérivée (lu)¢ = lu¢.

Le produit u.v est dérivable sur I, et a pour dérivée (u.v)¢=u¢.v+u.v¢.

Si v est non nul sur I, alors le quotient u/v est dérivable sur I, et a pour dérivée (u/v)¢=(u¢.vu.v¢)/v2.

Si u est dérivable sur l’intervalle v(I) (image de l’intervalle I par v), alors uov est dérivable sur I, et a pour dérivée (uov)¢=u¢(v).v¢.

D’après ces règles, on en déduit par exemple que:

toute fonction polynôme f, telle que:

f(x)=a0+a1x+…+an xn pour tout x réel, est dérivable sur l’ensemble des réels, et a pour dérivée f¢, telle que:

f¢(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1 pour tout x réel.

 

 Dérivées successives

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, de dérivée f¢. Supposons que f¢ soit également dérivable sur I. On peut alors calculer la dérivée de f¢, appelée dérivée seconde de f et notée d2f ou f¢¢.

 Par exemple:

si x représente le temps et y la distance parcourue par un système à l’instant x, alors dy/dx correspond à la vitesse v du système, et d2y/dx2=dv/dx à son accélération. De la même manière, on définit les dérivées successives d’une fonction f, notées f(n) ou dnf, que l’on obtient en dérivant successivement la fonction f n fois. Une fonction n fois dérivable sur un intervalle I et de dérivée ne continue sur I est dite de classe Cn. Les fonctions continues sur I sont donc de classe C0.

  Formule de Taylor - Young

Au voisinage d’un point d’abscisse a, la formule de Taylor-Young permet d’approcher par un polynôme une fonction f dérivable n fois sur un intervalle [a; b] et admettant en a une dérivée d’ordre n!+!1. Cette formule affirme en effet qu’il existe des réels a0, a1, a2,… , an tels que :

pour tout x de ]ab[:

f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+…+an(x-a)n+E(x).(x-a)n+1.

E est une fonction qui tend vers 0 lorsque x tend vers a, et an=f(n)(a)/n! pour tout n!, où n (dit factorielle n) est tel que 0!=!1 et n!!!=!1!×!2!×!3!×!!×!n pour tout n!³!1. Par exemple, si f(x)!=!ex, alors f(n)(x)!=!ex pour tout n réel. Comme f(n)(0)!=!e0!=!1, on peut donc écrire, pour tout x au voisinage de 0 :

 

La formule de Taylor-Young permet ainsi d’étudier localement certaines fonctions.

 

 

 Dérivées partielles

On peut également considérer la dérivabilité d’une fonction à plusieurs variables.

Soit f une fonction de deux variables x et y, dérivable suivant x et y. Si l’on considère provisoirement y comme une constante, f peut être alors dérivée par rapport à x :

on obtient alors la dérivée partielle de f par rapport à x, notée df/dx. De même, en fixant x et en dérivant f par rapport à y, on obtient la dérivée partielle de f par rapport à y, notée df/dy.

Par exemple:

si f(x,y)=x2-xy+3y2, alors f est dérivable par rapport à x et à y, et

df/dx=2x-y et df/dy=-x+6y.

De manière analogue, on peut déterminer les dérivées partielles de fonctions de plus de deux variables, en fixant temporairement toutes les variables sauf celle par rapport à laquelle on désire dériver la fonction. On peut également définir les dérivées partielles d’ordre supérieur en réitérant l’opération de dérivation. Les fonctions à plusieurs variables sont d’une grande importante en physique, car elles permettent de décrire les phénomènes qui dépendent à la fois du temps et de la position du système considéré.

 Exemple d’applications

De nombreux problèmes peuvent être formulés et résolus au moyen des dérivées. Considérons par exemple la quantité de matière radioactive y présente dans un échantillon à un instant x. La théorie et l’observation nous apprennent que l’échantillon se désintègre à une vitesse proportionnelle à la quantité de matière restante : en d’autres termes, dy/dx=ay,a est une certaine constante négative. Pour exprimer y en fonction de x, il faut déterminer une fonction f telle que y=f(x) et dy/dx=ay pour tout x réel .

On montre que la fonction la plus générale vérifiant cette condition est la fonction exponentielle définie par:

y=f(x)=ceax, avec e=2,718… et c constante réelle.

Puisque e0=1, y=c pour x=0, ce qui signifie que la valeur c est la quantité initiale de matière radioactive. Puisque a<0, on remarque que, quand x augmente, eax!±!0 donc y!±!0, ce qui confirme que la quantité de matière radioactive diminue progressivement au cours du temps. Cette étude illustre un exemple de décroissance exponentielle (figure 1 ). En revanche, si a est une constante positive, y augmente cette fois rapidement lorsque x croît. On dit alors que la quantité de matière radioactive augmente en fonction du temps suivant une progression exponentielle (figure 2 ).

Cette croissance de matière radioactive se rencontre lors d’explosions nucléaires.

 

 

 Calcul intégral

  

Calcul intégral

 

 

 

 

b et l sont deux réels, a un réel non nul, m un réel différent de -1 et n un réel non nul. u et v sont des fonctions quelconques de x.

 

 

 

 

Primitive

Fonction

Dérivée

 

 

 

 

ax

a

0

 

 

 

 

xm+1 / (m+1)

xm

m xm-1

 

 

 

 

ln çx ç

1/x

-1/x2

 

 

 

 

ln çx+a ç

1 / (x+a)

- 1 / (x+a)2

 

 

 

 

sin x

cos x

- sin x

 

 

 

 

- cos x

sin x

cos x

 

 

 

 

 

 

tan x

1+ tan2x = 1/ cos2x

 

 

 

 

 

 

cotan x

- (1+ cotan2x) = - 1/sin2x

 

 

 

 

x . ln x - x

ln x

1/x

 

 

 

 

eax+b /a

eax+b

aeax+b

 

 

 

 

sh x

ch x

sh x

 

 

 

 

ch x

sh x

ch x

 

 

 

 

 

 

lu

lu’

 

 

 

 

 

 

uv

u’v + v’u

 

 

 

 

 

 

un

u’. nun-1

 

 

 

 

 

 

u/v

(u’v - v’u) / v2

 

 

 

 

 

 

eu

u’eu

 

 

 

 

 

 

ln(u)

u’ / u

 

 

 

 

 

 

u O v (x)

v’(x) . u’(v(x))

 

 

 

 

 Primitive d’une fonction

Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Si f est continue sur I, alors il existe une infinité de fonctions F qui admettent f pour dérivée. Ces fonctions F sont appelées primitives de f sur I, et notées de manière générale òf(x)dx. Elles sont définies à une constante près, puisque l’on a vu plus haut que les fonctions constantes ont des dérivées nulles. Si F est une primitive quelconque de f, la primitive la plus générale de f est donc notée F+c, avec c constante arbitraire réelle, appelée constante d’intégration. Considérons par exemple la fonction f définie par f(x)=x2 pour tout x réel. Alors la fonction F définie, pour tout x réel, par F(x)=x3/3, constitue une primitive de f.

 

  

 Définition d’une intégrale

Considérons une fonction f définie et continue sur un intervalle [a!; b]. Cette fonction admet donc une primitive F sur cet intervalle, définie à une constante près. On appelle alors intégrale de a à b de la fonction f le réel :

 

On peut remarquer que cette intégrale ne dépend pas de la constante d’intégration c. En effet, si G est une autre primitive de f, telle que G(x)=F(x)+c pour tout réel x, alors G(b) - G(a)=F(b)-F(a).

La variable x introduite dans l’écriture de l’intégrale est totalement arbitraire, et peut être remplacée par la lettre u, t, etc.

Propriétés d’une intégrale

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c de I, on a :

Cette relation est appelée relation de Chasles.

 

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous réels a et b de I, et pour tous réels quelconques A et B, on a :

 

 

Cette relation traduit la linéarité de l’intégration.

 Règles d’intégration

Le calcul des primitives, appelé intégration, est sensiblement gouverné par les mêmes règles régissant la dérivation.

Par exemple, la primitive d’une somme ou d’une différence de fonctions est la somme ou la différence de leurs primitives. Toutefois, l’intégration, qui s’avère généralement plus complexe que la dérivation, dispose d’une règle différente, nommée intégration par parties :

Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si les fonctions dérivées f¢ et g¢ sont continues sur I, alors on peut écrire, pour tous réels a et b de I :

 Calcul d’aires

Calcul d'une aire

L'une des applications classiques de l'intégration est le calcul d'aires. Soit A l'aire de la région délimitée par la représentation graphique de la fonction f, l'axe des x, la droite x=a et la droite x=b. Pour simplifier, supposons que f(x)³0 entre a et b. Pour tout x³a, soit L(x) l'aire de la région comprise entre a et x. Pour déterminer la valeur de A, il suffit donc de calculer L(x) et de l'appliquer à x=b. Si h est une petite variation de x, le domaine délimité par la représentation graphique de f et l'axe des abscisses compris entre x et x+h s'apparente approximativement à un rectangle de hauteur f(x) et de largeur h. Par conséquent, l'aire de ce domaine, par ailleurs égale à L(x+h)!-!L(x), est sensiblement égale à f(x).h. Lorsque h!±!0, ces approximations deviennent plus fondées donc k/h±f(x). On en déduit que L(x)=f(x) : L est une primitive de f. Donc, si nous connaissons une primitive F de f, L=F+c,c est une constante. Mais comme L(a)=0, c=-F(a). Par conséquent, A=L(b)=F(b)-F(a).

 

   

Le calcul d’aires constitue l’une des applications classiques de l’intégration. Soit donc une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b]. Par conséquent, f(x)³0 pour tout x compris entre a et b. Soit C sa représentation graphique de la fonction f, et A l’aire du domaine délimité par C, l’axe des x, et les droites d’équation x=a et x=b. Alors on a :

 

F est une primitive de f. Ce résultat permet de comprendre pourquoi le symbole ò (correspondant à la lettre S utilisée au XVIIe siècle) évoque une somme d’aires égales à f(x)dx, correspondant à une infinité de rectangles de hauteur f(x) et de largeur infinitésimale dx.

 Encyclopedia Universalis

 

 

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